「CF559E」Gerald and Path

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细节好多，写死人了。

题意简述

[CF 559E]

有 $n$ 个二元组 $(a_i, l_i)$ ，对于每个二元组有两个选择：将数轴上的 $[a_i - l_i, a_i]$ 染色或将 $[a_i, a_i + l_i]$ 染色。求最大化的最终被染色总长度。输入均为整数， $1\le n\le 100, 0\le a_i\le 10^8, 1\le l_i\le 10^8$ ，保证 $a_i$ 互不相同。

主要思路

先把二元组按 $a_i$ 排序，考虑动态规划，设 $f(x, s), x\in[1, 2n], s\in[0, 1]$ 表示「第 $x$ 个二元组向左（$s=1$）或右（$s=0$）贡献，最终染色总长度与 $(-\infty, a_i - s\times l_i]$ 的交的最大值」。

先考虑第 x 个二元组向左贡献。则 $[a_x - l_x, a_x]$ 这段区间内的所有二元组，也都会向左贡献，这会产生连锁反应。连锁反应过后，我们可以得到最右边的不被连锁反应影响的二元组 $y$ 。此时便转化为一个子问题，然而多了一个右端点的限制，但是总体区别不大。
然后考虑这个二元组往右贡献。发现其实更简单，因为不会产生连锁反应，所以不被影响的最右的二元组即为 $x - 1$ 。所以无论左右的转移代价都是常数。

有 $O(n)$ 中状态，而每种状态的转移方式不会超过 $O(n)$ 种，转移代价为常数，总复杂度 $O(n^2)$ 。

参考代码

感觉可能是我有史以来写过注释比例最高的代码……
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#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define reg register
    #define Rint register int
    #define FOR(i,a,b) for(register int i=(a),ed_##i=(b);i<=ed_##i;++i)
    #define ROF(i,a,b) for(register int i=(a),ed_##i=(b);i>=ed_##i;--i)
    #define FORit(templ,arr,i,a,b) for(register templ *i=(arr)+(a),*ed_##i=(arr)+(b)+1;i!=ed_##i;++i)
    #define ROFit(templ,arr,i,a,b) for(register templ *i=(arr)+(a),*ed_##i=(arr)+(b)-1;i!=ed_##i;--i)
    #define GO(x,p,e,i,v) for(register int i=p[x].head,v;i;i=e[i].link)
    #define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
    #define fir first
    #define sec second
    #define pq priority_queue
    #define MP make_pair
    typedef long long LL;
    typedef double DB;
    typedef pair<int,int> PII;
    #define Templ(T) template<typename T>
    inline int read(){
        reg int ans=0,f=1; reg char c=getchar();
        while(!isdigit(c)) f^=(c=='-'), c=getchar();
        for(;isdigit(c);c=getchar()) ans=(ans<<1)+(ans<<3)+(c^48);
        return f?ans:-ans;
    }
    Templ(_Tp) inline int chkmin(_Tp &x,_Tp y){ return x>y?x=y,1:0; }
    Templ(_Tp) inline int chkmax(_Tp &x,_Tp y){ return x<y?x=y,1:0; }
    #define using_mod
    const int mod = 998244353;
    #ifdef using_mod
    inline void inc(int &x,const int &y){ x+=y; if(x>=mod) x-=mod; }
    inline int ksm(int x,LL y){ int res=1; for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod) if(y&1) res=1ll*res*x%mod; return res;}
    #endif
    Templ(_Tp) inline _Tp gcd(_Tp x,_Tp y){ return y?gcd(y,x%y):x; }
    inline int VSC_Local(){
        #ifdef VSC_Compile
        while(getchar() != '\n');
        #endif
        return 0;
    }
    #define FILE(s) freopen(s ".in", "r", stdin), freopen(s ".out", "w", stdout)
    #define PBTXDY
}
using namespace my_std;

const int N = 210, inf = 1145141919;

struct bulb{
    int pos, len;
    inline bool operator <(const bulb &t)const{ return pos < t.pos; }
}p[N];
int n, f[N], pre[N], rpre[N], md[N][N];
//pre[i] : 点 i 向左这段区域内最左边的点的编号; rpre[i] : 点 i 一直向左扩展最后最左的编号（相当于 pre[i] 的迭代）
//md[i][j] : [i, j] 这段区间中向左的端点最左的点

int dp(int tr){
    if(f[tr] != -1) return f[tr];
    Rint id, R;
    //id : 当前最右可贡献点; R : 当前最右允许贡献位置
    if(tr > n * 2) id = n, R = inf;
    else if(tr > n) id = pre[tr - n] - 1, R = p[tr - n].pos - p[tr - n].len;
    //「当前位置」向左，显然在定义下「当前位置」无法造成贡献，故实际当前位置为 pre[tr - n] - 1
    else id = tr - 1, R = p[tr].pos;
    //「当前位置」向右，同理「当前位置」无法造成贡献，故实际当前位置为 tr - 1
    if(!id) return f[tr] = 0;
    f[tr] = p[id].pos - (p[rpre[id]].pos - p[rpre[id]].len) + dp(rpre[id] + n);
    //考虑当前最左可贡献点 (rpre[id]) 向左
    chkmax(f[tr], min(p[id].len, R - p[id].pos) + dp(id));
    //考虑当前最右可贡献点 (id) 向右
    ROF(i, id - 1, 1){
        if(p[i].pos + p[i].len <= p[id].pos) continue;
        Rint u = md[i + 1][id];
        //令 i 右边的点向左贡献，能贡献到最左的 u
        if(p[u].pos - p[u].len > p[i].pos){
            chkmax(f[tr], min(p[i].len, R - p[i].pos) + dp(i));
            //假如点 i 右边没有点可以贡献到它的左边，直接把这个点贡献到右边
        }
        else{
            Rint v;
            if(pre[u] < i){
                v = rpre[md[pre[u]][i - 1]];
                if(p[v].pos - p[v].len > p[u].pos - p[u].len) v = u;
                //找出的点 v 比原来的点 u 还劣
            }
            else v = u;
            //找出在 i 向右时的最左可贡献点 v 并将其向左贡献
            chkmax(f[tr], min(R, p[i].pos + p[i].len) - (p[v].pos - p[v].len) + dp(v + n));
            //i 向右贡献， v 向左贡献
        }
    }
    return f[tr];
}

int main(){
    n = read();
    FOR(i, 1, n) p[i].pos = read(), p[i].len = read();
    sort(p + 1, p + n + 1);
    p[0].pos = -inf, p[n + 1].pos = inf;
    FOR(i, 1, n){
        const int L = p[i].pos - p[i].len;
        pre[i] = i;
        while(p[pre[i] - 1].pos >= L) --pre[i];
        //求 pre[i]
    }
    FOR(i, 1, n){
        Rint L = p[i].pos - p[i].len, x = i;
        FOR(j, i, n){
            if(chkmin(L, p[j].pos - p[j].len)) x = j;
            md[i][j] = x;
        }//暴力求 md[i][j] 
    }
    FOR(i, 1, n){
        Rint x = md[pre[i]][i];
        rpre[i] = (i == x) ? i : rpre[x];
        //求 rpre[i] 
    }
    MEM(f, -1);
    printf("%d\n", dp(n * 2 + 1));
    return VSC_Local();
}