两位数竞大佬 mzc 与 cp 心血来潮出了一份难度据说是高考衔接一试难度的小测卷，并由苦工 zsd 验题。
两大看点：
- 看本人
因好久没有认真做过数学题被其他神仙暴踩； - 试卷不用 $\LaTeX$ 格式爆炸，各种出锅
，骂出题人。
一些题目
T1
在锐角 $\triangle{ABC}$ 中， $\sin{A} + \sin{B} + \sin{C} + \tan{A} + \tan{B} + \tan{C}$ ____ $\pi$ 。（）
A. $<$ B. $>$ C. $\ge$ D. $=$
然而这题最快方法或许是代正三角形？
大家都知道当 $x\in(0, \frac{\pi}{2})$ 有 $\sin{x} < x < \tan{x}$ 。
什么？要用万能公式？不存在的。
T2
已知奇函数 $f(x)$ 在 $[-1, 0]$ 上为单调递减函数， $\alpha, \beta$ 为某锐角三角形的两个内角，则____。（）
A. $f(\cos{\alpha}) > f(\cos{\beta})$ B. $f(\sin{\alpha}) < f(\cos{\beta})$ C. $f(\sin{\alpha}) > f(\sin{\beta})$ D. $f(\sin{\alpha}) > f(\sin{\beta})$
$\because \alpha + \beta > \frac{\pi}{2}$
$\therefore 0 < \frac{\pi}{2} - \beta < \alpha\qquad\therefore \sin{(\frac{\pi}{2} - \beta)} < \sin{\alpha}$
$\therefore f(\sin{\alpha}) < f(\cos{\beta})$
T3
若实数 $a, b$ 满足不等式 $\begin{cases}a + b - 2 \ge 0 \\ b - a - 1 \le 0 \\ a \le 1 \end{cases}$ ，则 $\frac{a + 2b}{2a + b}$ 的最大值为____。（）
A. $\frac{8}{5}$ B. $\frac{7}{5}$ C. $\frac{6}{5}$ D. $1$
直接线性规划就完事了。
T9
函数 $f(a, b) = (a - b)^2 + (\sqrt{2 - a^2} - \frac{9}{b})^2$ 的最小值为____。
这东西就是两点 $C,D$ ，其中 $x_C^2 + y_C^2 = 2, y_C \ge 0, x_D\cdot y_D = 9$ ，然后求这两点距离的最小值。
然后场上居然没做出来。
T12
设 $\triangle{ABC}$ 中 $BC$ 边上的高为 $h$ ，且 $h = \frac{\sqrt{3}a}{3}$ ，则 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c} + \frac{a^2}{bc}$ 的最大值为____。
设 $L=\frac{c}{b} + \frac{b}{c} + \frac{a^2}{bc}=\frac{c^2+b^2+a^2}{bc} = 2\cos{A} + \frac{2a^2}{bc}$
$\because 2S = ah = \frac{\sqrt{3}}{3} a^2 = bc\sin{A}$
$\therefore L = 2\cos{A} + 2\sqrt{3}\sin{A} = 4\sin(A + \frac{\pi}{6}) \le 4$
又当 $A = \frac{\pi}{3}, B = \frac{\pi}{2}, C = \frac{\pi}{6}$ 时， $L = 4$
$\therefore L_{\max} = 4$
T13
请用一个式子表示数列 $1, 2, 3, 1, 2, 3, \dots$ 的通项公式（下标从 $1$ 开始）。
$a_n = (n - 1) % 3 + 1$
好，结果你要求只用初等方法，还不告诉我初等方法是什么
上单位根。
$[x|n] = \frac{1}{x}\sum\limits_{r = 0}^{x - 1} \omega_x^{r\cdot n}$
$n \% x = \sum\limits_{t = 1}^{x - 1}t \cdot [x | (n - t)] = \sum\limits_{t = 1}^{x - 1}\frac{t}{x}\sum\limits_{r = 0}^{x - 1} \omega_x^{r\cdot (n-t)}$
直接代进去就能得到一个很丑的式子。
然后稍微好看点的式子是 $a_n = 1 + \omega_3^n + \omega_3^{n + 1} + \omega_3^{2n} + \omega_3^{2n + 2}$ 。
结果你还要求不准用虚数……
$\cos{\frac{2n\pi}{3} = \begin{cases} 1, 3|n\\ -\frac{1}{2}, \text{others} \end{cases}}$
好，配一下就好了。
T17
在 $\triangle{ABC}$ 中， $M$ 为 $BC$ 中点，有一条直线穿过线段 $AB,AC$ 与 $AB,AC,AM$ 分别交于点 $P,Q,N$ 。求证 $\frac{AB}{AP},\frac{AM}{AN},\frac{AC}{AQ}$ 成等差数列。
设 $\frac{AB}{AP} = \alpha,\frac{AM}{AN} = \gamma,\frac{AC}{AQ} = \beta$ 。
则要证明 $\alpha + \beta = 2\gamma$ 。
$\because M$ 为 $BC$ 中点 $\qquad\therefore \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}$
即 $\alpha\overrightarrow{AP} + \beta\overrightarrow{AQ} = 2\gamma\overrightarrow{AN}\qquad$ 即 $\frac{\alpha}{2\gamma}\overrightarrow{AP} + \frac{\beta}{2\gamma}\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AN}$
$\because P,Q,N$ 三点共线 $\qquad\therefore \frac{\alpha}{2\gamma} + \frac{\beta}{2\gamma} = 1$
$\therefore \alpha + \beta = 2\gamma$
T18
设 $a,b,c\in \mathbf{R}_+, abc = 1$ 。求证 $L = (a - 1 + \frac{1}{b})(b - 1 + \frac{1}{c})(c - 1 + \frac{1}{a}) \le 1$ 。
设 $a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z},c = \frac{z}{x}, x,y,z\in \mathbf{R}_+$ 。
则 $L = (\frac{x - y + z}{y})(\frac{x + y - z}{z})(\frac{-x + y + z}{x})$
设 $p = x + y - z, q = x + y - z, p = x + y - z$ ，则 $x = \frac{p + q}{2}, y = \frac{p + r}{2}, z = \frac{q + r}{2}$ 。
$\because pqr = \sqrt{pq}\cdot\sqrt{qr}\cdot\sqrt{rp} \le \frac{p + q}{2}\cdot\frac{p + r}{2}\cdot\frac{q + r}{2} = xyz$
$\therefore L = \frac{pqr}{xyz} \le 1$
T20
用牟合方盖证明球的体积公式。
咕了。