「AGC011D」Half Reflector

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题意简述

[AGC 011D]

给你一个长为 $n$ 的 AB 字符串。假设一个球从某一个方向（左或右）到达了一个 A ，该位置将变为 B 且该球会反弹；到达了一个 B ，该位置将变为 A 且该球会穿过该位置。

现在从字符串的最左边扔进去 $k$ 个球，每个球都在上一个球已经弹出字符串之后再放入（可以证明，任何字符串都不能把球永远留在字符串中）。

求最后的字符串。

$1\le n\le 200000, 1\le k\le 10^9$ 。

主要思路

$k$ 这么大，说明最后的复杂度和 $k$ 没大关系。

发现如果扔进去球的时候第一个位置是 A ，则球从左边弹出，只改变第一个位置的值；否则，必然从右边弹出。

考虑球从某个位置的右边弹出时，原先在的位置和弹到的位置的值（注意到弹出时该位置必定为 A）。

  • AA 变为 BA ；
  • AB 变为 AA ；

发现第二个位置的值取反即为最后第一个位置的值。

加以分析，即可得若球从字符串右边弹出，新字符串为原字符串左移一位每位取反后，最后一位补上 A 。

这样就得到了一个 $O(n + k)$ 的做法。

由于球从字符串右边弹出后，字符串最后一位必为 A ，所以球从字符串右边弹出若干次后，字符串有后缀 ...ABABA 。扔入足够多的球后，长度为偶数的字符串将变为 BABA...BABA 并保持稳定；长度为奇数的字符串将在 ABAB...BABA 与 BBAB...BABA 中反复。

显然，扔入两个球后至少有一个是从右边弹出的，故若 $k > 2n$ ，可以直接利用上面的结论得到答案。

这样就得到了 $O(n)$ 做法。

参考代码

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#include<bits/stdc++.h>//AGC011D
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define reg register
    #define Rint register int
    #define FOR(i,a,b) for(register int i=(a),ed_##i=(b);i<=ed_##i;++i)
    #define ROF(i,a,b) for(register int i=(a),ed_##i=(b);i>=ed_##i;--i)
    #define FORit(templ,arr,i,a,b) for(register templ *i=(arr)+(a),*ed_##i=(arr)+(b)+1;i!=ed_##i;++i)
    #define ROFit(templ,arr,i,a,b) for(register templ *i=(arr)+(a),*ed_##i=(arr)+(b)-1;i!=ed_##i;--i)
    #define GO(x,p,e,i,v) for(register int i=p[x].head,v;i;i=e[i].link)
    #define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
    #define fir first
    #define sec second
    #define pq priority_queue
    #define MP make_pair
    typedef long long LL;
    typedef double DB;
    typedef pair<int,int> PII;
    #define Templ(T) template<typename T>
    inline int read(){
        reg int ans=0,f=1; reg char c=getchar();
        while(!isdigit(c)) f^=(c=='-'), c=getchar();
        for(;isdigit(c);c=getchar()) ans=(ans<<1)+(ans<<3)+(c^48);
        return f?ans:-ans;
    }
    Templ(_Tp) inline int chkmin(_Tp &x,_Tp y){ return x>y?x=y,1:0; }
    Templ(_Tp) inline int chkmax(_Tp &x,_Tp y){ return x<y?x=y,1:0; }
    #define using_mod
    const int mod = 998244353;
    #ifdef using_mod
    inline void inc(int &x, const int &y){ x += y; if(x >= mod) x -= mod; }
    inline void dec(int &x, const int &y){ x -= y; if(x < 0) x += mod; }
    inline int ksm(int x,LL y){ int res=1; for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod) if(y&1) res=1ll*res*x%mod; return res;}
    #endif
    Templ(_Tp) inline _Tp gcd(_Tp x,_Tp y){ return y?gcd(y,x%y):x; }
    inline int VSC_Local(){
        #ifdef VSC_Compile
        while(getchar() != '\n');
        while(getchar() != '\n');
        #endif
        return 0;
    }
    #define FILE(s) freopen(s ".in", "r", stdin), freopen(s ".out", "w", stdout)
    #define PBTXDY
}
using namespace my_std;

const int N = 200010;
int n, m, a[N << 2], tag, fst;
char S[N];

int main(){
    n = read(), m = read();
    scanf("%s", S + 1);
    FOR(i, 1, n) a[i] = S[i] == 'A';
    fst = 1;
    function<void(void)> update = [&](){
        if(a[fst] ^ tag){
            a[fst] ^= 1;
            return;
        }
        tag ^= 1;
        a[fst + n] = tag ^ 1;
        fst++;
    };

    FOR(i, 1, min(m, n * 3)) update();
    if(m > n * 3){
        if(n & 1){
            Rint t = m - n * 3;
            if(t & 1) update();
            FOR(i, fst, fst + n - 1) putchar('B' - (tag ^ a[i]));
        }
        else{
            FOR(i, 1, n) putchar('A' + (i & 1));
        }
    }
    else{
        FOR(i, fst, fst + n - 1) putchar('B' - (tag ^ a[i]));
    }
    return VSC_Local();
}