「十二省联考2019」字符串问题

重工业,,,

题意简述

给定一个字符串 $S$,再给定 $n_A$ 个 A 类串和 $n_B$ 个 B 类串(均为 $S$ 的字串)。定义 A 类串的权值为该串长,B 类串的权值为 0。

将这些字串抽象为点,给定 $m$ 条 A 类连向 B 类的边。定义一个 B 类串向某个 A 类串连边当且仅当其为该 A 类串的一个前缀。

求一条最长的路径(路径长度定义为路径上经过所有点的权值和),需判断无解。$|S|, n_A, n_B, m\le 2\times 10^5$。

[LOJ 3049]

[Luogu 5284]

主要思路

由于不会 SAM,此处只讲 SA 做法。

假设 $x$ 为 $y$ 的前缀,那么 $x$ 的字典序必定小于 $y$,且 $\operatorname{lcp}(x, y) = |x|$。

于是只需要把 A 串和 B 串一起按字典序排好序,然后对每个 B 串二分一下它为前缀的区间,线段树优化建图,拓扑排序,就喜提 $O(n\log n)$。

怎么按字典序排序?对于俩串,lcp 为较短的,则短的排在长的前面;lcp 比最短的还短,直接按SA::rk[]排即可。

参考代码

注意细节,比如 B 串应该在有相同 A 串时居于前面。

不知道为啥常数巨大,可能我写丑了?

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
#include <bits/stdc++.h>
namespace my_std {
using namespace std;
#define reg register
#define Rint register int
#define FOR(i, a, b) for (register int i = (a), ed_##i = (b); i <= ed_##i; ++i)
#define ROF(i, a, b) for (register int i = (a), ed_##i = (b); i >= ed_##i; --i)
#define FORit(templ, arr, i, a, b) \
for (register templ *i = (arr) + (a), *ed_##i = (arr) + (b) + 1; i != ed_##i; ++i)
#define ROFit(templ, arr, i, a, b) \
for (register templ *i = (arr) + (a), *ed_##i = (arr) + (b)-1; i != ed_##i; --i)
#define GO(x, p, e, i, v) for (register int i = p[x].head, v; i; i = e[i].link)
#define fir first
#define sec second
#define pq priority_queue
#define MP make_pair
typedef long long LL;
typedef double DB;
typedef pair<int, int> PII;
#define Templ(T) template <typename T>
inline int read() {
reg int ans = 0, f = 1;
reg char c = getchar();
while (!isdigit(c)) f ^= (c == '-'), c = getchar();
for (; isdigit(c); c = getchar()) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + (c ^ 48);
return f ? ans : -ans;
}
Templ(_Tp) inline int chkmin(_Tp &x, _Tp y) { return x > y ? x = y, 1 : 0; }
Templ(_Tp) inline int chkmax(_Tp &x, _Tp y) { return x < y ? x = y, 1 : 0; }
#define using_mod
const int mod = 998244353;
#ifdef using_mod
inline void inc(int &x, const int &y) { x += y; if (x >= mod) x -= mod; }
inline void dec(int &x, const int &y) { x -= y; if (x < 0) x += mod; }
inline int ksm(int x, LL y) {
int res = 1;
for (; y; y >>= 1, x = 1ll * x * x % mod)
if (y & 1) res = 1ll * res * x % mod;
return res;
}
#endif
Templ(_Tp) inline _Tp gcd(_Tp x, _Tp y) { return y ? gcd(y, x % y) : x; }
#define FILE(s) freopen(s ".in", "r", stdin), freopen(s ".out", "w", stdout)
#define PBTXDY
} // namespace my_std
using namespace my_std;

const int N = 200010;
int l2g[N];

inline void init(){
FOR(i, 2, 200000) l2g[i] = l2g[i >> 1] + 1;
}

int n, nA, nB, m;
#define CLR(x) memset(x, 0, sizeof(x))
char str[N];

namespace SA{
int sa[N], rk[N], oldrk[N << 1], cnt[N], px[N], id[N], ht[N];
int st[20][N];
inline int cmp(const int &x, const int &y, const int &w){
return oldrk[x] == oldrk[y] && oldrk[x + w] == oldrk[y + w];
}
inline void build(){
CLR(sa), CLR(rk), CLR(oldrk), CLR(cnt), CLR(px), CLR(id);
CLR(ht), CLR(st);
Rint m = 127, p, w;
FOR(i, 1, n) ++cnt[rk[i] = str[i]];
FOR(i, 1, m) cnt[i] += cnt[i - 1];
ROF(i, n, 1) sa[cnt[rk[i]]--] = i;

for(w = 1; p < n; w <<= 1, m = p){
p = 0;
ROF(i, n, n - w + 1) id[++p] = i;
FOR(i, 1, n) if(sa[i] > w) id[++p] = sa[i] - w;

memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
FOR(i, 1, n) ++cnt[px[i] = rk[id[i]]];
FOR(i, 1, m) cnt[i] += cnt[i - 1];
ROF(i, n, 1) sa[cnt[px[i]]--] = id[i];

p = 0;
memcpy(oldrk, rk, sizeof(rk));
FOR(i, 1, n){
rk[sa[i]] = cmp(sa[i], sa[i - 1], w) ? p : ++p;
}
}
//build sa[], rk[]
p = 0;
FOR(i, 1, n){
if(p) --p;
while(str[i + p] == str[sa[rk[i] - 1] + p]) ++p;
ht[rk[i]] = p;
}
//build ht[]
//ht[i] = lcp(sa[i], sa[i - 1])
FOR(i, 1, n) st[0][i] = ht[i];
FOR(i, 1, l2g[n]){
FOR(j, 1, n - (1 << i) + 1){
st[i][j] = min(st[i - 1][j],
st[i - 1][j + (1 << (i - 1))]);
}
}
// FOR(i, 1, n){
// FOR(j, sa[i], n) putchar(str[j]);
// putchar('\n');
// }
}
inline int st_q(Rint x, Rint y){
Rint k = l2g[y - x + 1];
y -= (1 << k) - 1;
return min(st[k][x], st[k][y]);
}
inline int lcp(Rint x, Rint y){
if(x == y) return n - x + 1;
x = rk[x], y = rk[y];
if(x > y) swap(x, y);
return st_q(x + 1, y);
}
}

struct Sub_str{
int p, len, id, rk;
inline bool operator <(const Sub_str &x)const{
if(SA::lcp(p, x.p) >= min(len, x.len)) return len == x.len ? rk < x.rk : len < x.len;
else return SA::rk[p] < SA::rk[x.p];
}
}dt[N << 1];
int a_rk[N], b_l[N], b_r[N], a_p[N], b_id[N], a_len[N];

inline void build_sub(){
nA = read();
FOR(i, 1, nA){
dt[i].p = read();
a_len[i] = dt[i].len = read() - dt[i].p + 1;
dt[i].id = i, dt[i].rk = 1;
}
nB = read();
FOR(i, nA + 1, nA + nB){
dt[i].p = read(), dt[i].len = read() - dt[i].p + 1;
dt[i].id = i, dt[i].rk = 0;
}
// printf("nA, nB: %d, %d\n", nA, nB);
sort(dt + 1, dt + nA + nB + 1);
// FOR(i, 1, nA + nB){
// printf("%d: %c -- ", dt[i].id, dt[i].id <= nA ? 'A' : 'B');
// FOR(j, dt[i].p, dt[i].p + dt[i].len - 1) putchar(str[j]);
// putchar('\n');
// if(dt[i].id > nA){
// FOR(j, 1, nA + nB){
// if(i != j && SA::lcp(dt[j].p, dt[i].p) >= dt[i].len) printf("%d ", dt[j].id);
// }
// puts("");
// }
// }
Rint cA = nA;
// dt[nA + nB + 1].rk = dt[nA + nB + 2].rk = cA;
ROF(i, nA + nB, 1){
if(dt[i].id <= nA){
dt[i].rk = a_rk[dt[i].id] = cA--;
}
else{
dt[i].rk = cA;
// b_l[dt[i].id - nA] = cA + 1;
// Rint j = i + 1;
// while(SA::lcp(dt[j].p, dt[i].p) >= dt[i].len) ++j;
// b_r[dt[i].id - nA] = dt[j - 1].rk;
// printf("b[%d]: %d -- [%d, %d]\n", dt[i].id, dt[j - 1].id, b_l[dt[i].id - nA], b_r[dt[i].id - nA]);
b_l[dt[i].id - nA] = cA + 1;
Rint l = i + 1, r = nA + nB + 1, mid = (l + r) >> 1;
while(l < r){
if(SA::lcp(dt[mid].p, dt[i].p) >= dt[i].len){
l = mid + 1;
}
else r = mid;
mid = (l + r) >> 1;
}
--mid;
// if(SA::lcp(dt[mid + 1].p, dt[i].p) >= dt[i].len) ++mid;
// if(SA::lcp(dt[mid].p, dt[i].p) < dt[i].len) --mid;
b_r[dt[i].id - nA] = dt[mid].rk;
// printf("b[%d]: %d -- [%d, %d]\n", dt[i].id, dt[mid].id, b_l[dt[i].id - nA], b_r[dt[i].id - nA]);
}
// printf("cA: %d\n", cA);
}
FOR(i, 1, nA) a_p[a_rk[i]] = i;
FOR(i, 1, nB) b_id[i] = i + (nA << 2);
// FOR(i, 1, nA) printf("a_rk[%d] = %d\n", i, a_rk[i]);
// FOR(i, 1, nB) printf("b(%d): [%d, %d]\n", i, b_l[i], b_r[i]);
}

struct Vertice{
int head, ind;
LL val;
};
struct Edge{
int to, link;
};

namespace GR{
Vertice p[N << 3];
Edge e[N << 4];
int ecnt, tcnt;
int Que[N << 3];
inline void A_E(const int &u, const int &v){
e[++ecnt] = (Edge){v, p[u].head};
p[u].head = ecnt, ++p[v].ind;
}
inline void build(const int &t, const int &l, const int &r){
if(l == r){
a_rk[a_p[l]] = t;
p[t].val = a_len[a_p[l]];
return;
}
reg const int mid = (l + r) >> 1;
build(t << 1, l, mid), build(t << 1 | 1, mid + 1, r);
A_E(t, t << 1), A_E(t, t << 1 | 1);
}
inline void update(const int &t, const int &l, const int &r,
const int &L, const int &R, const int &x){
if(L <= l && r <= R) return A_E(x, t);
reg const int mid = (l + r) >> 1;
if(L <= mid) update(t << 1, l, mid, L, R, x);
if(R > mid) update(t << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
}
inline void build(){
ecnt = 0;
memset(p, 0, sizeof(p));
memset(e, 0, sizeof(e));
build(1, 1, nA);
// FOR(i, (nA << 2) + 1, (nA << 2) + nB) p[i].val = 1;
m = read();
Rint a_, b_;
FOR(i, 1, m){
a_ = read(), b_ = read();
A_E(a_rk[a_], b_id[b_]);
}
FOR(i, 1, nB){
if(b_l[i] <= b_r[i]){
update(1, 1, nA, b_l[i], b_r[i], (nA << 2) + i);
}
}
tcnt = (nA << 2) + nB;
// FOR(u, 1, tcnt){
// printf("p[%d]: %d, %d\ne[%d]: ", u, p[u].val, p[u].ind, u);
// GO(u, p, e, i, v) printf("%d ", e[i].to);
// puts("");
// }
}
inline int Topo_sort(){
Rint l = 0, r = 0;
FOR(i, 1, tcnt) if(!p[i].ind) Que[r++] = i;
while(l < r){
reg const int u = Que[l++];
GO(u, p, e, i, v){
v = e[i].to;
--p[v].ind;
if(!p[v].ind) Que[r++] = v;
}
}
return r == tcnt;
}
inline LL dp(){
reg LL res = 0;
ROF(i, tcnt - 1, 0){
reg const int u = Que[i];
reg LL mx = 0;
GO(u, p, e, i, v){
v = e[i].to;
chkmax(mx, p[v].val);
}
p[u].val += mx;
chkmax(res, p[u].val);
}
return res;
}
}

inline void work(){
scanf("%s", str + 1);
n = strlen(str + 1);
// printf("n: %d\n", n);
SA::build();
build_sub();
GR::build();
if(!GR::Topo_sort()) return puts("-1"), void();
printf("%lld\n", GR::dp());
}

int main() {
init();
int esac = read();
while(esac--) work();
return 0;
}